ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ , раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.

Смотреть больше слов в «Энциклопедическом словаре естествознания»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ →← ДИФФЕРЕНЦИАЛ (ОТ ЛАТ . DIFFERENTIA РАЗНОСТЬ

Смотреть что такое ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

        раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные до... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в к-ром гео-метрич. образы изучаются методами ма-тематич. анализа. Главными объектами Д. г. являются пр... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

- раздел геометрии, в к-ром изучаются геометрич. образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич. анализа. Обычно в Д. г. изучаются с... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯраздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь - дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К.Гаусса (1777-1855), Г.Дарбу (1842-1917), Л.Бианки (1856-1928) и Л.Эйзенхарта (1876-1965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии "в малом". Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и "глобальными" свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией "в целом". Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает "метрическая" дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б.Римана (1826-1866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства.Кривые на плоскости и в пространстве. Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x = f (s), y = g (s), где s - натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X = F(s). См. также ВЕКТОР.Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулойВектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N - единичный вектор нормали, тоКроме того, можно показать, чтоЕсли k задана как функция от s, например, k = ?(s), то уравнения (1)-(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k = ?(s) называется внутренним уравнением кривой.Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), z = k(s) (s - натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X = F(s). Единичный вектор касательной определяется равенствомВектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в видегде B - единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент ? в (6) - кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, чтоСоотношения (5)-(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k = ? (s) и ? = ? (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, - нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, - спрямляющей.Поверхности в пространстве. Дифференциальные свойства поверхностей в обычном пространстве выводятся из их первой и второй основных квадратичных форм. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями x = f (u1, u2), y = g (u1, u2), z = h (u1, u2) или векторным уравнением X = F (u1, u2). (Верхними индексами здесь нумеруются переменные.) Дифференциал длины дуги ds определяется первой основной формой, а именногде g11, g12 и g22 - функции от u1 и u2, определяемые выражениямиПолезно также ввести величины gij:Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует).Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формуламиЕдиничный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T1 и T2. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ?Ti/?uj (i, j = 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T1, T2 и N :Величины Гijk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины (символы Кристоффеля первого рода) соотношениямигде по определениюВеличины bij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности bij играют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности - непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека.Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в видегде g11?1?1 + 2g12?1?2 + g22?2?2 = 1. Кривизна поверхности в направлении вектора ? равнаЗа полуоборот вектора ? кривизна k(?) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора ?, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(?) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма - средней кривизной H. Эти величины определяются выражениямииВажную роль играют поверхности с постоянной гауссовой кривизной. При K = 0 поверхность плоская, или развертывающаяся, поскольку у нее такая же внутренняя геометрия, как у плоскости. Примерами развертывающихся поверхностей могут служить прямые круговые конусы и цилиндры. При K 0 поверхность имеет эллиптическую неевклидову геометрию, а при K ? 0 - гиперболическую неевклидову геометрию.Гаусс доказал замечательную теорему относительно кривизны K, утверждающую, что она может быть выражена через одни лишь внутренние величины, а именно через gij и их производные. Это следует из того, что определитель матрицы (bij) равен R1212, гдеВеличина (Rlijk) называется тензором кривизны поверхности.Риманова геометрия. Обобщением и абстрактным вариантом только что описанной геометрии поверхности служит риманова геометрия. Она описывает n-мерное многообразие, на котором элемент длины дуги определяется формулойв некоторой системе координат по аналогии с (8). На обычной поверхности определитель матрицы (gij) положителен, в римановой же геометрии предполагается лишь, что он отличен от нуля. Риманово пространство с римановой геометрией необязательно является подпространством пространства какой-нибудь более высокой размерности. Символы Кристоффеля и тензор кривизны определяются через gij, как и в описанном выше случае обычных поверхностей.Секционная кривизна K12 риманова пространства в точке P определяется через ориентацию, задаваемую двумя векторами ?1 и ?2:Если она одинакова для всех векторов ?1 и ?2, то она постоянна и для всех точек P, и пространство называется пространством постоянной кривизны, скажем K, гдеСвернутый тензор кривизны, определяемый выражениемиграет важную роль в общей теории относительности Эйнштейна. Пространство, в котором Rik = ?gij, называется пространством Эйнштейна.Дифференциальная геометрия в целом. Наиболее фундаментальная из известных взаимосвязей между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается теоремой Гаусса - Бонне, которая утверждает, что для обычных замкнутых поверхностейгде интеграл берется по всей поверхности, K - гауссова кривизна и ? - характеристика Эйлера - Пуанкаре. На произвольные замкнутые римановы пространства этот результат был распространен в 1943 К.Аллендёрфером и А.Вейлем. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ТОПОЛОГИЯ.... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.<br><br><br>... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ геометрия - раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.<br>... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, тип геометрии, в которой используются методы дифференциального ИСЧИСЛЕНИЯ для анализа геометрических понятий, таких как кри... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

раздел геометрии, в к-рой геом. образы изучаются на основе метода координат средствами дифференц. исчисления. Первонач. предметом Д. г. было изучение г... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

часть геометрии, изучающая геом. образы на основе метода координат средствами дифференц. исчисления. Первоначально Д. г. изучала геом. образы обычного ... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

дыферэнцыяльная геаметрыя Гдз по геометрии 7 решебник

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ

- раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топ... смотреть

T: 190