ИНТУИЦИОНИЗМ

ИНТУИЦИОНИЗМ , направление в основаниях математики, полагающее критерием убедительности доказательства интуитивную ясность каждого его шага; не признает т. н. абстракцию актуальной бесконечности, характерную для множеств теории.

Смотреть больше слов в «Энциклопедическом словаре естествознания»

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА →← ИНТУИТИВИЗМ

Смотреть что такое ИНТУИЦИОНИЗМ в других словарях:

ИНТУИЦИОНИЗМ

        в математике, философское направление, отвергающее теоретико-множественную трактовку математики и считающее интуицию (См. Интуиция) единственны... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

ИНТУИЦИОНИЗМ (от позднелат. intuitio, от лат. intueor — пристально смотрю) — направление в обосновании математики и логики, согласно которому конеч... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

- совокупность философских и математич. идей и методов, рассматривающих математику как науку об умственных построениях. С точки зрения И., основным... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

филос. направление в математике и логике, отказывающееся от использования идеи актуальной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшествующую математике, и рассматривающее интуитивную убедительность ("интуицию") как последнее основание математики и логики. И. возник на рубеже 19 и 20 вв. прежде всего как реакция на теорию множеств Кантора, в к-рой нашла наиболее полное выражение идея актуальной бесконечности – одна из осн. идей классич. математики и логики. Оформление И. происходило в обстановке кризиса оснований математики, толчок к-рому дало обнаружение парадоксов. Интуиционистская критика классич. математики углубила этот кризис и способствовала широкой постановке проблем обоснования математики и логики. Критич. замечания по поводу использования идеи актуальной бесконечности имеются уже у нем. математика К. Гаусса. Кронекер ставил под сомнение методы классич. математики, резко выступал против взглядов Кантора. Более близким предшественником И. можно считать Пуанкаре. Основоположником И. является голл. математик Л. Э. Я. Брауэр (p. 1881), выступивший в 1907 с критикой основ классич. математики. В дальнейшем интуиционистская т. зр. на математику получила развитие в работах как самого Брауэра, так и его последователей – Г. Вейля, А. Гейтинга и др. Взамен отвергаемого понятия актуальной бесконечности и наивного понимания существования в математике (при к-ром это понятие считается не нуждающимся в к.-л анализе) И. кладет в основу своего подхода понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математич. объектов как возможности (хотя бы в принципе) их построения. При этом он отвергает идею о том, что в основании математики должна лежать (дедуктивная) логика. Согласно Брауэру, математика тождественна с точной частью человеч. мышления; с его т. зр. попытки обоснования математики средствами логики приводят к порочному кругу, т.к. логика, будучи составной частью точного мышления, является тем самым частью математики. Радикальная критика классич. логики привела И. к формулировке собств. логич. воззрений, получивших название интуиционистской логики. Характерной чертой филос. установок И. является понимание интуиции как последнего основания достоверности суждений. При этом под интуицией, т.е. интуитивной убедительностью и интуитивной ясностью, понималась непреложная умозрительная или наглядная очевидность, присущая элементарным шагам рассуждения, отд. суждениям или отд. понятиям; примером интуитивно убедительного, с т. зр. И., суждения может быть суждение "0=0" или суждение "Из А следует А" (для данного конкретного суждения А); одним из интуитивно ясных понятий интуиционисты считали натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ...Отличит. особенностью И. является отказ от попыток точного определения таких понятий, как "доказательство", "построение", а также самого понятия "интуиция". Интуиционисты считают, с одной стороны, что математические (т.е. относящиеся к точной части нашего мышления) доказательства и построения должны обладать достаточной интуитивной ясностью (так, что если относительно к.-л. рассуждения возникает сомнение в том, является ли оно, напр., доказательством, его и не следует считать таковым); с др. стороны, они убеждены, что нет оснований признавать к.-л. попытку определения этих понятий вводящей (уточненное) понятие, адекватное первоначальному (неуточненному) понятию, т.к. с т. зр. И. представляется невозможным охватить одним определением все те способы рассужде-ния, к-рые могут когда-либо оказаться интуитивно убедительными. То же самое относится к понятию построения (к понятию функции, закона соответствия) с той лишь разницей, что вместо интуитивной убедительности речь должна идти об интуитивной ясности построения. Уже в этом подходе подчеркнута роль субъективного момента в познании. Ведущие представители И., и прежде всего Брауэр, идут, однако, гораздо дальше. Ссылаясь на то, что интуитивная убедительность связана с субъектом, истолковывающим те или иные математич. построения, они переходят на позиции откровенного субъективизма, утверждая, напр., что может быть столько математик, сколько есть математиков. У самого Брауэра субъективизм принял волюнтаристич. оттенок – Брауэр утверждает, что математика есть нек-рый вид человеч. деятельности, с помощью к-рой человек вносит порядок в окружающий его мир и подчиняет его, в т.ч. и др. людей, своей воле. Классич. математика, т.е. математика, опирающаяся на теорию множеств Кантора, широко пользуется понятием актуальной бесконечности, позволяя считать существующими любые бесконечные множества и оперировать с ними как с завершенными целыми; при этом она игнорирует вопрос о том, в каком смысле можно утверждать существование таких множеств. Для нее характерно представление об актуально бесконечном множестве как о чем-то завершенном, существующем до и независимо от всякого процесса порождения, как о чем-то, что может лежать перед нами и быть доступным нашему обозрению; при этом считается само собой разумеющимся, что о бесконечных множествах можно рассуждать по законам классич. логики. С др. стороны, в математике имеется представление о неограниченно растущем (но конечном в каждый момент времени) множестве уже порожденных объектов, т.е. о потенциально бесконечной последовательности. При этом приходится отвлекаться, напр., от ограниченности наших возможностей в рассмотрении хотя и конечных, но чрезмерно больших множеств, от ограниченности нашей жизни и т.д. И. допускает использование в доказательствах лишь понятия потенциальной бесконечности, считая понятие актуальной бесконечности бессмысленным. В математике существование объекта понимается обычно как возможность (хотя бы в принципе) "предъявить" его и осмысленно оперировать с ним. С т. зр. теории множеств предъявление объекта считается в принципе возможным даже в том случае, если оно требует перебора всех элементов нек-рого бесконечного множества или даже всех его подмножеств. И. же, отказываясь от актуальной бесконечности, признает предъявление объекта возможным лишь тогда, когда указан метод его построения. Критика актуальной бесконечности имеет два аспекта, соответствующих различным ступеням употребления этой идеи. Первый аспект встречается в классич. арифметике натуральных чисел и состоит в допущении свободного рассмотрения натурального ряда как законченной совокупности, об элементах к-рой можно рассуждать по законам классич. логики. Второй аспект обнаруживается при переходе к множеств теории или типов теории, когда вместе с бесконечным множеством считается данной совокупность всех его подмножеств; этот аспект данной идеи обнаруживается уже в классич. теории действит. чисел. С логич. т. зр. при переходе от первого аспекта ко второму возникает новый трудный момент – непредикативные определения. Концепция, состоящая в недопущении лишь второго аспекта идеи актуальной бесконечности, наз. предикативизмом; эту концепцию, на к-рой стоял, напр., Вейль (см. Н. Wehl, Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen ?ber die Grundlagen der Analyse, Lpz., 1918) до своего перехода к И., не следует смешивать с И., не допускающим актуальную бесконечность в любой форме. Будучи крайне критичным по отношению к тому, что явно наз. бесконечностью, И. отвлекается от трудностей, связанных с понятием произвольного конечного объекта. И. принимает допущение о том, что натуральный ряд является однозначно определенной последовательностью, известной нам "наизусть" и продолжаемой нами по определ. закону. Принимая абстракцию потенциальной осуществимости, И. не замечает того, что для таких больших чисел, как 101010 никакое построение их в качестве элементов ряда 0, 1, 2, 3, ... не удается даже с помощью этой абстракции, ибо требует 101010 шагов, так что само существование этих чисел в натуральном ряду не удается доказать без порочного круга (т.к. построение потенциально осуществимого объекта следует считать возможным лишь при условии, что оно м. б. осуществлено в натуральное число шагов), что разрушает убедительность тех утверждений о такого рода числах, к-рые доказываются посредством математич. индукции. Важную роль в И. играет критика логич. принципов, лежащих в основе классич. математики. Эта критика тесно связана с пониманием существования в математике. Напр., И. не может признавать доказательств существования, проведенных методом от противного, т.к. нет основания утверждать, что существует метод, позволяющий извлекать из рассуждений от противного способ построения нужного объекта. Допустив, что нужного объекта не существует и сведя это предположение к противоречию, мы вначале получаем как следствие лишь отрицание того, что нужный объект не существует. Классич. математика и логика делают отсюда вывод о существовании искомого объекта, основываясь на законе снятия двойного отрицания. И. же отказался признать убедительным не только доказательства от противного в применении к утверждениям о существовании, но и доказательства от противного в общем случае, а также закон снятия двойного отрицания и закон исключенного третьего, поскольку для этих законов не находилось интуитивного обоснования. Интуиционистский подход к проблеме существования определяет и характерное для И. понимание дизъюнкции. Утверждение суждения A/B означает, по существу, утверждение того, что в множестве из двух суждений A и В существует элемент, обладающий свойством "быть истинным". Классич. математика и логика считают такое утверждение доказанным, напр., в том случае, когда утверждение об одновременной ложности обоих суждений А и В опровергнуто приведением к противоречию. Но с т. зр. И. утверждение А/В может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно, из двух суждений А и В истинно. Дизъюнкция существенно участвует в формулировке принципа исключенного третьего: A/А. Если мы попытаемся применить этот закон, напр., к "великой теореме" Ферма (утверждающей, что не найдется такой четверки х, у, z, n целых положит. чисел, что n?2 и xn+yn=zn), то увидим, что из этого ничего не выйдет; до сих пор не только не удалось доказать или опровергнуть эту теорему, но, более того, не известен метод, следуя к-рому можно было бы в конце концов установить ее истинность или ложность. Чтобы спасти закон исключенного третьего от критики И., недостаточно было бы изобрести метод, позволяющий доказать или опровергнуть теорему Ферма, нужно найти метод, годящийся для решения не только всех нерешенных математич. проблем, но и для любых проблем, к-рые появятся когда-либо в будущем. Сомнения в возможности существования такого метода (ср. Алгоритм) явились для И. убедит. аргументом для неприятия закона исключенного третьего. Суждение всеобщности ?xА(x) И. всегда понимает как утверждение о наличии метода, к-рый, коль скоро указан нек-рый предмет x из предметной области М, дает интуитивно ясное доказательство того, что этот предмет обладает свойством А (в отличие от классич. математики и логики, в к-рых это суждение может пониматься как утверждение о фактич. положении вещей в нек-рой конечной или бесконечной области М). Методом доказательства суждений всеобщности, приемлемым с т. зр. И., является математич. индукция. Сходным образом понимается И. и условное суждение. В отличие от классич. понимания импликации, И. понимает суждение A?B как утверждение о наличии интуитивно ясного метода перехода, к-рый по каждому интуиционистски приемлемому доказательству суждения А дает интуиционистски приемлемое доказательство суждения В. Суждение A с т. зр. И. может пониматься как утверждение о наличии метода, позволяющего интуитивно ясно вывести противоречие из предположения об истинности А. На это понимание осн. логич. понятий распространяется, конечно, субъективизм взглядов интуиционистов. Но в применении к отд. математич. доказательствам субъективизм преодолевался благодаря характерной для И. тенденции понимать интуицию (в смысле интуитивной убедительности, интуиционистской приемлемости и т.п.) в самом узком смысле – так, чтобы практически для всех математиков исчезло бы сомнение в том, что рассматриваемое рассуждение или утверждение является интуитивно убедительным. В частности, Гейтингом была построена такая формальная система (см. Логика высказываний и Предикатов исчисление), что выразимые в ней содержат. рассуждения приемлемы с т. зр. Брауэра. Следует отметить, что имеются разные варианты И., различие между к-рыми связано гл. обр. с принятием или неприятием отд. логич. принципов. Важным примером этого рода является недостаточная интуитивная убедительность логич. закона А&А?В. Неочевидность этого закона связана с невозможностью указать такую ситуацию, в к-рой имеет место А&А, чем серьезно затрудняется интуитивное обоснование этой импликации. Брауэр принимал этот закон, но нек-рые интуиционисты (Иогансон и др.) от него отказываются; логич. система, получающаяся из системы Гейтинга путем отказа от этого закона, называется минимальным исчислением. Осуществляя перестройку математики на основе предложенных им принципов, И. создал теорию действит. континуума, теорию множеств и др. Свои математич. теории (начиная с математич. анализа) интуиционисты строят, используя кажущееся им интуитивно ясным понятие свободно становящейся последовательности. Уже в своей теории действит. чисел И. столкнулся с необходимостью говорить не только об отд. действит. числах (о них можно говорить, напр., как о процессах, порождающих отрезки с рацион. концами, такие, что каждый последующий отрезок вложен в предыдущий, а длина последующего не превосходит половины длины предыдущего отрезка), но и обо всех действит. числах. Считая перечисление всех интуитивно ясных методов построения и определения невозможным и ненужным, И. не мог поэтому в этих случаях доказывать нечто о процессах, порождающих все нужные объекты, напр. говорить о всех методах, задающих действит. числа, т.к. задание этих процессов предполагает перечисление. Чтобы преодолеть эту трудность, И. и ввел понятие свободно становящейся последовательности. Каждую свободно становящуюся последовательность можно описать (в терминах, отличных от интуиционистских) следующим образом. Пусть имеется нек-рый запас конечных объектов и условие, для к-рого интуитивно ясно, что каков бы ни был объект из данного запаса, относительно этого объекта можно выяснить, удовлетворяет ли он или нет этому условию. Далее последовательно производятся акты произвольного выбора объектов, пока не будет найден объект, удовлетворяющий условию. Этот объект объявляется следующим членом реализации данной свободно становящейся последовательности. Для доказательства теорем о континууме интуиционисты рассматривают, напр., такую свободно становящуюся последовательность: выбираемые объекты – отрезки прямой с рацион. концами, условие таково – последующий отрезок вложен в предыдущий и длина его не более половины длины предыдущего. Относительно свободно становящихся последовательностей имеет смысл высказывать лишь такие предложения, истинностное значение к-рых может быть установлено на основании исследования конечного числа первых членов реализации и к-рое не меняется, как бы далеко ни продолжалась эта реализация. Используя это понятие, И. смог перейти от сомнений в истинности нек-рых принципов классич. логики к их опровержению. Так, было установлено, что с т. зр. И. утверждение о том, что любые два действит. числа либо равны, либо не равны является неверным. Однако понятие свободно становящейся последовательности, казавшееся интуитивно ясным самим интуиционистам, оказалось неясным для др. математиков. В отличие от И., конструктивные направления в математике и логике, в частности направления А. А. Маркова и Н. А. Шанина, развились на основе понятия алгоритма, вводимого различными определениями (рекурсивные функции, нормальные алгорифмы и т.д.). При этом интуиционистские логич. исчисления получили новое истолкование в духе конструктивного понимания математич. суждений (Н. А. Шанин) и оказались логич. исчислениями конструктивной логики. Значит. роль в разработке конструктивного понимания суждений сыграло предложенное Колмогоровым (1932) истолкование интуиционистского исчисления высказываний как исчисления задач, а также понятие реализуемой формулы, введенное Клини (1945). Лит. см. при ст. Конструктивная логика. ... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

        ИНТУИЦИОНИЗМ — одно из трех главных направлений (наряду с логицизмом и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики. Для общей ... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

ИНТУИЦИОНИЗМ — направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно-содержатель­ная интуиция. Вся математика должна опираться, согласно И., на интуитивное представление ряда натуральных чисел и на прин­цип математической индукции, истолковываемый как требование действовать последовательно, шаг за шагом; допускаются лишь конструктивные доказательства существования рассматриваемого объекта, указывающие способ его построения. Создателем И. является голландский математик Л. Э. Я. Брауэр (1881 — 1966). В начале XX в. он выдвинул программу радикальной перестройки математики, противопоставив ее концепции сведе­ния математики к логике (см.: <i>Логицизм</i>)<i> </i>и истолкованию мате­матики исключительно как языка математических символов (см.: <i>Формализм</i>). Представители И. полагают, что чистая математика является мыслительной активностью, не зависящей от языка, ее объект -нелингвистические математические конструкции. Язык служит лишь для сообщения математических идей, математика не сво­дится к языку и тем более не может быть истолкована как особый язык. Предметом исследования (математической) логики являет­ся математический язык, более или менее адекватно передающий математические построения. Логика вторична по отношению к ма­тематике, последняя не может быть обоснована с помощью логи­ческих средств. Основной тезис интуиционистов гласит, что существование в математике — это то же самое, что конструктивность, или "построяемость". Из существования математического объекта вытека­ет его непротиворечивость, но не наоборот: не каждый непроти­воречивый объект существует. Построение является единственным средством обоснования в математике. Интуиционисты подвергли резкой критике <i>закон исключенного третьего</i>,<i> закон </i>(снятия) <i>двойного отрицания </i>и ряд других зако­нов <i>логики классической</i>.<i> </i>Согласно Брауэру, логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Закон исключенного третьего, верный в случае конечной математики, неприменим в рассуждениях о бесконечных множествах. Объекты бесконечного множества невозможно пере­брать. Если в процессе перебора не удалось найти элемент с требу­емым свойством, ни утверждение о существовании такого объекта, ни отрицание этого утверждения не является истинным. Критика И. классической логики привела к созданию нового направления в логике — <i>интуиционистской логики</i>. Одновременно с Брауэром сомнения в универсальной прило­жимости закона исключенного третьего высказал рус. философ и логик Н. А. Васильев (1880-1940). Он ставил своей задачей постро­ение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сфера действия этого закона, но и <i>непротиворечия закона</i>.<i> </i>Казавшиеся парадоксальными, идеи Васильева не были в свое время оценены по достоинству. <br><br><br>... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно-сод... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

направление в основаниях математики и логики, признающее главным и единственным критерием правомерности методов и результатов этих наук их интуитивную наглядносодержат. убедительность («интуицию»). И. отвергает использование в математике и логике идеи актуальной бесконечности (см. Абстракция актуальной бесконечности) и взгляд на логику как на науку, «предшествующую» математике. Гл. объектом интуиционистской критики стал широко используемый в классич. математике исключённого третьего принцип. Идеи И.., высказывавшиеся ещё нем. математиком Л. Кронекером и А. Пуанкаре, в явном виде были сформулированы в нач. 20 в. голл. учёным Л. Э. Я. Брауэром и развиты Г. Вейлем (Германия) и ?. Гейтингом (Нидерланды). Гл. причину парадоксов (противоречий, антиномий) классич. математики и логики И. усматривает в представлении, что математику можно «обосновать» какими бы то ни было логич. средствами. С т. зр. И. математику надлежит строить исключительно посредством тех её средств (удовлетворяющих, в частности, требованию эффективности, конструктивности получаемых с их помощью абстрактных понятий), интуитивная убедительность (в случае доказательств и выводов) или интуитивная ясность (в случае конструкций, построений) к-рых не вызывает никаких сомнений. Для И. понятия «доказательство» и «построение» (как и понятие «интуиция») не могут быть охвачены к.-л. одним «точным» определением. Поэтому никакая система интуиционистски приемлемых правил рассуждений, умозаключений и доказательств не может и не должна кодифицироваться в качестве раз навсегда закреплённой и принятой логики. Только с учётом подобного фундаментального принципа И. можно в нек-ром смысле считать интуиционистскую логику Гейтинга адекватной идеям этого направления: главное в И. не логика, а интерпретация применяемых логич. средств и математич. рассуждений. В то же время интуиционистская математика может быть описана в виде нек-рого исчисления [см. К л и н и С. К., В е с л и Р., Основания интуиционистской математики с т. зр. теории рекурсивных функций, пер. с англ., 1978 (библ.)]. Идеи И. оказали большое влияние на конструктивное направление. Осн. отличие конструктивизма от И. состоит в том, что неопределяемое и неизбежно субъективное понятие интуиции заменяется в первом к.-л. разновидностью точно определяемого понятия алгоритма (или вычислимой, рекурсивной функции).... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

интуициони́зм (лат.) одно из направлений в философия математики, в котором подвергаются критикеоснования теории множеств; интуиционисты считают интуиц... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

1) Орфографическая запись слова: интуиционизм2) Ударение в слове: интуицион`изм3) Деление слова на слоги (перенос слова): интуиционизм4) Фонетическая т... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

ИНТУИЦИОНИЗМ а, м. intuitionnisme &LT;лат. мат. Одно из направлений в философии математики, в котором подвергаются критике основания теории множеств. ... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

Ударение в слове: интуицион`измУдарение падает на букву: иБезударные гласные в слове: интуицион`изм

ИНТУИЦИОНИЗМ

Тмин Тиун Тимин Тим Оун Оним Омут Озу Нут Нтц Нто Ноу Ном Ниц Нитон Нит Нии Низом Низ Муцин Мутон Мутно Мунит Музон Тоз Том Томин Тон Туз Мотин Мот Монт Тун Тунин Узи Митоз Миот Узин Умно Унион Миозит Миозин Миоз Мио Ионит Иомут Унт Цинизм Цитизин Интимно Изот Изм Зимин Цум Зинин Зонт Зот Инозин Инозит Интим Цоизит Цмин Цитозин Унионизм Интуиционизм Ион... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

ИНТУИЦИОНИЗМ, направление в основаниях математики, полагающее критерием убедительности доказательства интуитивную ясность каждого его шага; не признает т. н. абстракцию актуальной бесконечности, характерную для множеств теории.<br><br><br>... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

ИНТУИЦИОНИЗМ - направление в основаниях математики, полагающее критерием убедительности доказательства интуитивную ясность каждого его шага; не признает т. н. абстракцию актуальной бесконечности, характерную для множеств теории.<br>... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

направление в основаниях математики, полагающее критерием убедительности доказательства интуитивную ясность каждого его шага; не признаёт т. н. абстрак... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

ИНТУИЦИОНИЗМ, направление в основаниях математики, полагающее критерием убедительности доказательства интуитивную ясность каждого его шага; не признает т. н. абстракцию актуальной бесконечности, характерную для множеств теории.... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ

учение об основаниях математики и логики, признающее главным критерием интуитивную, наглядно-содержательную убедительность.

ИНТУИЦИОНИЗМ

метод философского анализа, основанный на интуиции. Последовательный представитель этого метода – Бергсон.

ИНТУИЦИОНИЗМ

метод философского анализа, основанный на интуиции. Последовательный представитель этого метода — Бергсон.

ИНТУИЦИОНИЗМ

Начальная форма - Интуиционизм, винительный падеж, единственное число, мужской род, неодушевленное

ИНТУИЦИОНИЗМ

лат.) - учение об интуиции как самом главном и самом надежном источнике познания.

ИНТУИЦИОНИЗМ

(лат.) учение об интуиции как самом главном и самом надежном источнике познания.

ИНТУИЦИОНИЗМ

интуицион'изм, -а

ИНТУИЦИОНИЗМ

интуиционизм интуицион`изм, -а

ИНТУИЦИОНИЗМ

матем. інтуїціоні́зм, -му

ИНТУИЦИОНИЗМ

интуиционизм [

ИНТУИЦИОНИЗМ

інтуіцыянізм

ИНТУИЦИОНИЗМ

интуиционизм

ИНТУИЦИОНИЗМ (МАТЕМАТИЧЕСКИЙ)

— одно из направлений в философии математики (Л. Кронекер, А. Пуанкаре, Л. Брауэр, Г. Рейтинг), представители которого предложили новую концепцию предмета и обоснования математики, резко противопоставив ее не только эмпиристской, объективно-идеалистической (платонизм) и наивно-интуиционистской (Декарт) традициям в истолковании предмета и природы математики, но и таким новым направлениям философии математики XX в. как логицизм (Фреге, Рассел и др.) и формализм (Гильберт, Гедель и др.). Согласно интуиционистам, математика есть синоним максимально однозначных и доказательных построений человеческого разума. Математические объекты и структуры конструируются человеческим мышлением, и до него и вне него не существует. Математическое знание является содержательным, синтетическим, имеющим интуитивную основу, однако в математике допускается только элементарная, так называемая «глобальная» интуиция, которая в силу своей элементарности находится под максимально возможным контролем человеческого сознания. Назначение этой интуиции состоит во введении элементарных единиц содержания и способности их различения или отождествления. Например, глобальная интуиция способна однозначно различить такие элементарные объекты как 0 и 1, все остальные объекты математики должны быть построены из элементарных с: помощью простых операций, которые однозначно контролируются глобальной интуицией (например, и — ). Согласно интуиционистам, в математике слово «существовать» должно означать только одно — «быть построенным» в конечное количество шагов под контролем глобальной интуиции. На этом основании интуиционисты отказывают в законности понятию «актуально бесконечное множество» (допускаемого в классической математике: в теории множеств и арифметике). Понятие «актуальной бесконечности» предлагается из математики удалить и ввести вместо него понятие «потенциальной бесконечности», понимаемой как конечная последовательность, которая реально всегда может быть продолжена. Закон исключенного третьего, широко используемый при доказательствах в классической математике, должен быть ограничен только его применением в рассуждениях о конечных множествах. Не является универсальным, с точки зрения интуиционистов, и закон двойного отрицания (А = А). Общий вывод интуиционистов в отношении классической математики очень категоричен: вся классическая математика — ненадежная и нестрогая наука, и поэтому требуется построить новую математику, отвечающую более строгим критериям, предложенных интуиционистами. Усилиями многих представителей интуиционизма и конструктивизма в XX в. были перестроены с позиций новых требований строгости многие разделы классической математики. Сначала многие математики расценивали эти построения как проявление крайнего педантизма, не имеющие никакого теоретического и практического значения для реально работающей математики. Только с развитием вычислительной техники, компьютеров, машинной математики оказалось, что наиболее эффективным языком математических программ для этой техники является язык именно конструктивной математики. (См. логицизм, формализм, философия, математика).... смотреть

ИНТУИЦИОНИЗМ (ФИЛОСОФСКИЙ)

— гносеологическая концепция (Сократ, Платон, Аристотель, Августин, Декарт, Лейбниц, Бергсон и др.), согласно которой, наряду с аналитическими процедурами (анализ, синтез, абстрагирование, рассуждения, выводы, мысленное конструирование и др.), мышление обладает и некоторой синтетической, интегральной способностью схватывать, усматривать в предметах и процессах познания их сущность, существенность, необходимость, причастность к Истине. Согласно интуиционистам, истинные основоположения наук, их фундаментальные законы, принципы и аксиомы могут быть постигнуты только в актах интуиции достаточно развитого мышления и сознания (См. мышление, сознание, синтез).... смотреть

T: 140